Teorema de Pitagoras.

Teorema de Pitágoras:


El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Ejercicios:

1-. En un triángulo rectángulo donde el ángulo recto es igual a C y el cateto adyacente es igual a 25 y la hipotenusa es igual a 34. Encuentra el cateto opuesto.

34 al cuadrado= CO al cuadrado + 25 al cuadrado
1,156= C al cuadrado + 625
CO al cuadrado= 1156 - 625
CO al cuadrado= 531
CO= La raíz cuadrada de 531


CO= 23.04




2-. Encuentra la medida de la hipotenusa del siguiente triángulo si se sabe que el cateto adyacente al ángulo recto equivale a 14 cm. y el cateto opuesto a 20 cm

Hipotenusa al cuadrado= (14 x 14) + (20 x 20)
Hip. al cuadrado = 196 + 400
Hip. al cuadrado = 596
Hip.= Raíz cuadrada de 596


Hip.= 24.4 cm.

Bloque 3: Semejanzas.

Dos triangulos son semejantes si los tres angulos donde ellos son respectivamente congruentes con los tres angulos del otro.



CRITERIO AA: Si dos angulos de un triangulo son congruentes con dos angulos de otro triangulo entonces los triangulos son semejantes.


CRITERIO LLL: Si la medida de lops angulos correspondientes de dos triangulos son proporcionales entonces los triangulos son semejantes.


CRITERIO LAL: Si la medida de dos lados de un triangulo son proporcionales a las medidas de dos lados correspondientes de otro triangulo y los angulos correspondientes entre estos dos son congruentes entonces los triangulos son semejantes.

Bloque 2: Congruencia.

Congruencia:

Dos triangulos son congruentes (iguales) cuando los lados y angulos de un triangulo son iguales a los angulos y lados del otro.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA.




LLL: Dos triangulos son congruentes cuando los tres lados de un triangulo son iguales a los tres lados del otro lado.

LAL: Dos triangulos son congruentes cuando tienen dos lados iguales y 1 angulos igual.

ALA: Dos triangulos son congruentes cuando uno de sus lados es igual y los angulos adyacentes a este lado son respectivamente iguales a los angulos adyacentes del otro.

Teorema de la medida del ángulo externo de un triangulo.

Teorema de la medida del ángulo externo de un triángulo.


La medida de un angulo externo es igual a la medida de los 2 angulos internos que no le son adyacentes.

m. de ángulo NO adyacente 1+ m. de ángulo NO adyacente 2 = medida de ángulo externo


En el triangulo ABC el angulo BCD es un angulo externio. Encuentra su medida sabiendo que m <ABC=109º y m<BAC=25º

?= ángulo NO adyacente 1 + ángulo NO adyacente 2
?= 109 º + 25º


?= 134º 

Ejercicios de triángulos.

Ejercicio 1: En la siguiente figura, calcula las medidas de los ángulos BOC (7x+4) y AOC (3x +16), si se sabe que ambos son complementarios.

Solución: (7x + 4) + (3x + 16)= 90º
7x+4+3x+16=90º
10x+20=90º
10x=90-20
10x=70
x=70/10
x+7

Sustitución: 7(7)+4= 49+4= 53º
3(7) + 16= 21+16= 37º

53º+37º= 90º


ángulo BOC= 53º
ángulo AOC= 37º


Ejercicio 2: Calcula las medidas de los ángulos KHJ, JKH, GHI, HIG y HGI, sabiendo que el ángulo KHG mide 62º y HJK mide 40º.

 

Solución:  ángulo KHJ= 180º- 62º= 118º

ángulo JKH= 118º + 40º= 158º

180º- 158º= 22º

ángulo GHI= opuesto al vértice del KHJ= 118º

ángulo HIG= 180º- 118= 62º, el ángulo mide lo mismo que el del otro lado= 40º

ángulo HGI= 180º- 158º= 22º

Respuestas:

ángulo KHJ= 118º

ángulo JKH= 22º

ángulo GHI= 118º

ángulo HIG= 40º

ángulo HGI= 22º

Triángulos. 16/02/11

"Triángulos"

Definición de triángulo: Polígono formado por tres líneas rectas que tiene tres lados, tres vértices y tres ángulos.

Clasificación de triángulos:

• Por la longitud de sus lados
• Según sus ángulos

-Por la longitud de sus lados:

Equilátero: Tiene 3 ángulos y 3 lados iguales.

Isósceles: Tiene 2 lados y 2 ángulos iguales.

Escaleno: Todos sus ángulos y lados son diferentes.

-Según sus ángulos:

Acutángulo: ángulos menores de 90º

Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (+90º, -180º)

Rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º)

Ejercicio: Calcula la medida de los lados y ángulos de cada triángulo:

Triángulo isósceles:     

Solución:     35º + 35º= 70º

180º-70º= 110º

ángulo 1= 35º

ángulo 2= 35º

ángulo 3= 110º

lado 1= 25 cm.

lado 2= 10 cm.

lado 3= 25 cm.

Triángulo equilátero:

Solución:

ángulo 1= 60º

ángulo 2= 60º

ángulo 3 60º

suma de sus ángulos=180º

lado 1= 65 cm.

lado 2= 65 cm.

lado 3= 65 cm.

"Teorema de las sumas de las medida de los ángulos internos de un triángulo"

La suma de los ángulos internos de cualquier ángulo mide 180º.

Ejercicios-14/02/11

Ejercicio 1. ¿Cuánto mide el ángulo BOC, si el ángulo AOC= 73º?

Solución:

                      90º

                    - 73º

                    -------

                      17º

                                   

R= medida del ángulo BOC= 17º

Ejercicio 2. Encuentra la medida de los ángulos FIG, JIG y KIJ, si se sabe que el ángulo FIK mide 156º.

Solución:

                    ángulo FIG= 180º - 156º= 24º

                    ángulo JIG= opuesto al vértice del ángulo FIK= 156º

                    ángulo KIJ= opuesto al vértice del ángulo FIG= 24º

             

Bloque 1. Triángulos. Angulos. Relaciones Métricas. 14/02/11

Conceptos geométricos básicos:

• Punto: Unidad gráfica mínima. No tiene dimensión.
• Línea: Sucesión de puntos que son rectas y las hay verticales, diagonales, y horizontales. Carecen de ancho y espesor, sólo tienen longitud.

• Línea curva: Sucesión de puntos no alineada.

• Plano: Espacio donde se representan puntos y líneas. Geométricamente no tiene representación. Son largos y anchos.
• Puntos colineales: Puntos ubicados en una misma línea.
• Puntos coplanares: Puntos ubicados en un mismo plano.

Definición de ángulo: Abertura entre dos ayos que inician en un mismo punto. Rayos=lados, Punto=vértice.

Clasificación de los ángulos:

• Por sus medidas
• Por la suma de sus medidas
• Por la posición de sus lados

Por sus medidas:

1. ángulo colineal=180º
2. ángulo recto= 90º
3. ángulo agudo= menos de 90º, más de 0º
4. ángulo obtuso= más de 90º, menos de 180º
5. ángulo cóncavo= más de 180º, menos de 360º
6. ángulo perígono= 360º

Por la suma de sus medidas:

1. ángulos complementarios: Son dos ángulos que sumados me dan 90º
2. ángulos suplementarios: Son dos ángulos que sumados me dan 180º

Por la posición de sus lados:

1. ángulo adyacente: Están los dos a un lado del otro, compartiendo un mismo lado y un mismo punto común.
2. ángulos opuestos al vértice: Cuando dos rectas se intersecan o se cortan, los pares de ángulos que se forman son opuestos por el vértice.